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求 1^3 + 11^3 + 21^3 +...+ 20091^3 + 20101^3 除以2009時的餘數。
最佳解答:
求 1^3 + 11^3 +21^3 +...+ 20091^3 + 20101^3 除以2009時的餘數。 Sol 1^3 + 11^3 + 21^3 +...+ 20091^3 + 20101^3 =1+(11^3 + 21^3 +...+ 20091^3)+ 20101^3 =1+Σ(k=1 to 2009)_(10k+1)^3+20101^3 Σ(k=1 to 2009)_(10k+1)^3 =Σ(k=1 to 2009)_[1000k^3+300k^2+30k+1] =1000Σ(k=1 to 2009)_k^3+300Σ(k=1 to 2009)_k^2 +30Σ(k=1 to 2009)_k+Σ(k=1 to 2009)_1 =1000*(2009*2010/2)^2+300*2009*2010*4019/6+30*2009*2010/2+2009 為2009倍數 So 1^3 + 11^3 + 21^3 +...+ 20091^3 + 20101^3 除以2009時的餘數 =1+20101^3除以2009時的餘數 =1+(10*2009+11)^3除以2009時的餘數 =1+11^3除以2009時的餘數 =1332除以2009時的餘數 =1332
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第八屆數學邀請賽中三組決賽 Q17發問:
求 1^3 + 11^3 + 21^3 +...+ 20091^3 + 20101^3 除以2009時的餘數。
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求 1^3 + 11^3 +21^3 +...+ 20091^3 + 20101^3 除以2009時的餘數。 Sol 1^3 + 11^3 + 21^3 +...+ 20091^3 + 20101^3 =1+(11^3 + 21^3 +...+ 20091^3)+ 20101^3 =1+Σ(k=1 to 2009)_(10k+1)^3+20101^3 Σ(k=1 to 2009)_(10k+1)^3 =Σ(k=1 to 2009)_[1000k^3+300k^2+30k+1] =1000Σ(k=1 to 2009)_k^3+300Σ(k=1 to 2009)_k^2 +30Σ(k=1 to 2009)_k+Σ(k=1 to 2009)_1 =1000*(2009*2010/2)^2+300*2009*2010*4019/6+30*2009*2010/2+2009 為2009倍數 So 1^3 + 11^3 + 21^3 +...+ 20091^3 + 20101^3 除以2009時的餘數 =1+20101^3除以2009時的餘數 =1+(10*2009+11)^3除以2009時的餘數 =1+11^3除以2009時的餘數 =1332除以2009時的餘數 =1332
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